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高一数学下期中试卷带答案

一、填空题(本大题共17小题，每小题5分，满分70分)

1.sin135°=.

2.已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC=.

3.直线y=2x+1的斜率为.

4.圆(x﹣1)2+y2=9的半径为.

5.等差数列{an}，a1=1，a2=2，则a3=.

6.函数f(x)=sin2x+sinxcosx的周期为.

7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为.

8.已知过点A(﹣2，m)和点B(m，4)的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n=.

9.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°，(O为坐标原点)，则r=.

10.(B)已知等比数列{an}，首项为3，公比为 ，前n项之积最大，则n=.

11.已知cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，则sin =.

12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ，则sin(2B+ )=.

13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是.

14.设点M(x0，1)，已知圆心C(2，0)，半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为.

15.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，则 S12=.

16.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为.

17.在△ABC中，AC=3，∠A= ，点D满足 =2 ，且AD= ，则BC的长为.

二、解答题

18.(1)已知sinα= ，α∈( ，π)，求sin2α;

(2)已知tanα= ，求tan2α的值.

19.在△ABC中，

(1)已知 a=2bsinA，求B;

(2)已知a2+b2+ ab=c2，求C.

20.(1)求过点A(2，3)，且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程;

(2)已知直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程.

21.过点P(﹣3，﹣4)作直线l，当l的斜率为何值时

(1)l将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?

(2)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?

(3)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2?

22.已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an}的前n项和Sn;

(3)求数列{ }的前n项和Tn.

23.在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且 .

(1)求 的值;

(2)若 ，求tanA及tanC的值.

24.如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：

方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C;

方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C.

(1)求方案一中三角形DEF面积S1的最小值;

(2)求方案二中三角形DEF面积S2的最大值.

参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共17小题，每小题5分，满分70分)

1.sin135°= .

【考点】运用诱导公式化简求值.

【分析】运用特殊角的三角函数值，和诱导公式即可化简求值.

【解答】解：sin135°=sin=sin45 .

故答案为： .

2.已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC=1.

【考点】正弦定理.

【分析】根据含有30°的直角三角形的性质得出.

【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AB=2，

∴AC= .

故选1.

3.直线y=2x+1的斜率为2.

【考点】直线的斜率.

【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k，写出斜率即可.

【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2.

故答案为：2.

4.圆(x﹣1)2+y2=9的半径为3.

【考点】圆的标准方程.

【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径.

【解答】解：由圆(x﹣1)2+y2=9，得r2=9，

∴r=3.

即圆(x﹣1)2+y2=9的半径为3.

故答案为：3.

5.等差数列{an}，a1=1，a2=2，则a3=3.

【考点】等差数列的通项公式.

【分析】由等差数列{an}的性质可得：2a2=a1+a3.即可得出.

【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：2a2=a1+a3.

∴2×2=1+a3，

解得a3=3.

故答案为：3.

6.函数f(x)=sin2x+sinxcosx的周期为π.

【考点】三角函数的周期性及其求法.

【分析】利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可将f(x)=sin2x+sinxcosx+2化为：f(x)= sin(2x﹣ )+ ，利用周期公式即可求得其周期.

【解答】解：∵f(x)=sin2x+sinxcosx

= + sin2x

= (sin2x﹣cos2x)+

= sin(2x﹣ )+ ，

∴其最小正周期T= =π.

故答案为：π.

7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣ .

【考点】余弦定理;正弦定理.

【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b= ，再由余弦定理求得cosA= 的值.

【解答】解：在△ABC中，

∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，

∴2b=3c ②，

∴由①②可得a=2c，b= .

再由余弦定理可得 cosA= = =﹣ ，

故答案为：﹣ .

8.已知过点A(﹣2，m)和点B(m，4)的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n=﹣10.

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系.

【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等;两直线垂直，斜率之积等于﹣1，分别求得m、n的值，可得m+n的值.

【解答】解：由题意可得，直线为l1的斜率为 ，直线l2的斜率为﹣2，且l1∥l2，

∴ =﹣2，求得m=﹣8.

由于直线l3的斜率为﹣ ，l2⊥l3，∴﹣2×(﹣ )=﹣1，求得n=﹣2，

∴m+n=﹣10，

故答案为：﹣10.

9.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°，(O为坐标原点)，则r=2.

【考点】直线与圆相交的性质.

【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x﹣4y+5=0的距离d= r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案.

【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点，O为坐标原点，

且∠AOB=120°，

则圆心(0，0)到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos = r，

即 = r，

解得r=2，

故答案为：2.

10.(B)已知等比数列{an}，首项为3，公比为 ，前n项之积最大，则n=3.

【考点】等比数列的前n项和.

【分析】an=3× ，可得前n项之积Tn= ，对n分类讨论，底数 与1比较大小关系即可得出.

【解答】解：an=3× ，

∴前n项之积Tn=3n× = = ，

由于n≤3时， ≥1;由于n≥4时， <1.

∴n=3时，前n项之积最大，

故答案为：3.

11.已知cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，则sin = .

【考点】三角函数的化简求值.

【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin(α﹣ )和cos( ﹣β)的值，再利用两角差的正弦公式求得sin 的值.

【解答】解：∵cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，

∴α﹣ ∈( ，π)，sin(α﹣ )= = ; ﹣β∈(0， )，cos( ﹣β)= = .

则sin =sin[(α﹣ )﹣( ﹣β)]=sin(α﹣ )cos( ﹣β)﹣cos(α﹣ )sin( ﹣β)

= • + • = .

12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ，则sin(2B+ )= .

【考点】三角函数的化简求值.

【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得sinA的值，利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值.

【解答】解：△ABC中，∵已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ∈( ，π)，∴B∈(0， )，

∴sinA= = ，则由正弦定理可得 = = ，

∴sinB= ，cosB= = ，∴sin2B=2sinBcosB= ，∴cos2B=1﹣2sin2B= ，

sin(2B+ )=sin2Bcos +cos2Bsin = • + • = ，

故答案为： .

13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是[ ， ].

【考点】两条平行直线间的距离.

【分析】由题意和韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d2= = = ，由0≤c≤ 和不等式的性质可得.

【解答】解：∵a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，

∴由韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，

∴两平行线间的距离d= ，

故d2= = = ，

∵0≤c≤ ，∴0≤4c≤ ，∴﹣ ≤﹣4c≤0，

∴ ≤1﹣4c≤1，∴ ≤ ≤ ，

∴ ≤d2≤ ，∴ ≤d≤

故答案为：[ ， ]

14.设点M(x0，1)，已知圆心C(2，0)，半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为3.

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】作出对应的同学根据条件∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函数容易求出x0的范围.

【解答】解：易知M(x0，1)在直线y=1上，

设圆C的方程为(x﹣2)2+y2=1与直线y=1的交点为T，

假设存在点N，使得∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，

所以要是圆上存在点N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°，

因为T(2，1)，

所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT= = ≥tan45°=1，

即|x0﹣2|≤1，

则﹣1≤x0﹣2≤1，

即1≤x0≤3

故x0∈[1，3].

则x0的最大值为3，

故答案为：3.

15.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，则 S12=3.

【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.

【分析】根据题意，利用等比数列的前n项和公式求出通项公式an，进一步求出数列对应的前n项和公式，再计算 S12的值.

【解答】解：∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，且Sn+1=Sn+an+1，

∴(an﹣an+1)Sn+ anan+1+an﹣an+1=0，

∴Sn+ +1=0;

又∵a1=1，令n=1，则1+ +1=0，解得a2= ，

同理可得a3= ，

猜想an= ;

下面利用数学归纳法证明：

①当n=1时，a1= =1，成立;

②假设当n≤k(k∈N*)时成立，ak= ，则Sk= = ;

∵Sk+ +1=0，

∴ + +1=0，

解得ak+1= ;

因此当n=k+1时也成立，

综上，对于n∈N*，an= 都成立;

由等差数列的前n项和公式得，Sn= ;

∴ S12= × =3.

16.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为 .

【考点】余弦定理.

【分析】已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数.

【解答】解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，

①2+②2得：(3sinA+4cosB)2+(3cosA+4sinB)2=37，

化简得：9+16+24(sinAcosB+cosAsinB)=37，

即sin(A+B)=sin(π﹣C)=sinC= ，又∠C∈(0，π)，

∴∠C的大小为 或 ，

若∠C= π，得到A+B= ，则cosA> ，所以3cosA> >1，

∴3cosA+4sinB>1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以∠C≠ π，

∴满足题意的∠C的值为 .

则∠C的大小为 .

故答案为：

17.在△ABC中，AC=3，∠A= ，点D满足 =2 ，且AD= ，则BC的长为3.

【考点】三角形中的几何计算.

【分析】由已知，结合向量的基本运算可求得 = ，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC

【解答】解：∵ =2

∴ = = =

∵AD=| |= ，AC=| |=3，A= ，设AB=c

∴ =| || |cosA=

则13= =

∴13=1

整理可得，2c2 ﹣54=0

∵c>0

解可得，c=3

由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA

=

二、解答题

18.(1)已知sinα= ，α∈( ，π)，求sin2α;

(2)已知tanα= ，求tan2α的值.

【考点】二倍角的正切;二倍角的正弦.

【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式，求得 sin2α 的值.

(2)由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值.

【解答】解：(1)∵已知sinα= ，α∈( ，π)，∴cosα=﹣ =﹣ ，

∴sin2α=2sinαcosα=﹣ .

(2)∵已知tanα= ，∴tan2α= = = .

19.在△ABC中，

(1)已知 a=2bsinA，求B;

(2)已知a2+b2+ ab=c2，求C.

【考点】余弦定理;正弦定理.

【分析】(1)由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB= ，即可得出;

(2)利用余弦定理即可得出.

【解答】解：(1)∵ a=2bsinA，由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB= ，B∈(0，π)，∴B= 或 .

(2)∵a2+b2+ ab=c2，∴cosC= = =﹣ ，又C∈(0，π)，

∴C= .

20.(1)求过点A(2，3)，且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程;

(2)已知直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程.

【考点】待定系数法求直线方程.

【分析】(1)由已知方程和垂直关系可得所求直线的斜率，写出点斜式方程，化为一般式即可;

(2)可设直线l的方程为kx﹣y=0，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得.

【解答】解：(1)∵直线3x+2y﹣1=0的斜率为﹣ ，

∴由垂直关系可得所求直线的斜率k= ，

又直线过点A(2，3)，∴方程为y﹣3= (x﹣2)

化为一般式可得2x﹣3y+5=0;

(2)∵直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，

∴可设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，

由点到直线的距离公式可得 =3，解得k=±

∴直线l的方程为y=± x，即3x±4y=0

21.过点P(﹣3，﹣4)作直线l，当l的斜率为何值时

(1)l将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?

(2)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?

(3)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2?

【考点】直线的点斜式方程.

【分析】(1)当l经过圆心Q(1，﹣2)时，可将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分，利用点斜式即可得出.

(2)设直线l的方程为：y+4=k(x+3)，化为kx﹣y+3k﹣4=0，根据直线l与圆相切，可得圆心Q(1，﹣2)到直线l的距离d= =2，解出即可.

(3)由于l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2，可得直线l的距离d= = ，解出k即可.

【解答】解：(1)当l经过圆心Q(1，﹣2)时，可将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分，

∴直线l的方程为：y+2= (x﹣1)，化为x﹣2y﹣5=0.

(2)设直线l的方程为：y+4=k(x+3)，化为kx﹣y+3k﹣4=0，

∵直线l与圆相切，

∴圆心Q(1，﹣2)到直线l的距离d= =2，化为：3k2﹣4k=0，

解得k=0或 .∴当k=0或 时，直线l与圆相切.

(3)∵l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2，

∴直线l的距离d= = ，化为13k2﹣16k+1=0，

解得k= .

∴当k= 时，满足条件.

22.已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an}的前n项和Sn;

(3)求数列{ }的前n项和Tn.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.

【分析】(1)设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求;

(2)直接利用等差数列的前n项和公式求解;

(3)把数列{an}的通项公式代入 ，利用错位相减法求前n项和Tn.

【解答】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由a2=0，a6+a8=﹣10，得 ，解得 .

∴an=1﹣(n﹣1)=2﹣n;

(2) = ;

(3) = ，

∴ ，

，

两式作差得： = = .

∴ .

23.在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且 .

(1)求 的值;

(2)若 ，求tanA及tanC的值.

【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数;两角和与差的正切函数.

【分析】(1)利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，变形后求出sin2C的值，由C为三角形的内角，得到sinC大于0，开方可得出sinC的值，利用正弦定理化简得到的关系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin(A+C)，代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinAsinC不为0，等式左右两边同时除以cosAcosC，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值;

(2)由第一问求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B换为π﹣(A+C)，利用诱导公式化简后，将表示出的tanA代入，得到关于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值.

【解答】解：(1)∵ ，cos2C=1﹣2sin2C，

∴ ，

∵C为三角形内角，∴sinC>0，

∴ ，

∵ ，∴ ，

∴sinC= ，即2sinB=sinAsinC，

∵A+B+C=π，

∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，

∵sinA•sinC≠0，

∴ ;

(2)∵ ，

∴ ，

∵A+B+C=π，

∴ .

∴ ，

整理得tan2C﹣8tanC+16=0，

解得：tanC=4，

将tanC=4代入得： =4.

24.如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：

方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C;

方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C.

(1)求方案一中三角形DEF面积S1的最小值;

(2)求方案二中三角形DEF面积S2的最大值.

【考点】基本不等式在最值问题中的应用.

【分析】(1)在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈(0， )，表示出三角形DEF面积S1，利用基本不等式求出最小值;

(2)在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈(0， )，表示出三角形DEF面积S1，利用辅助角公式求出最小值.

【解答】解：(1)在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈(0， )，

则 ，…

因为DE∥AC，所以∠E=α， ，

且 ，即 ，…

解得 ，…

所以 ，

所以当sin2α=1，即α=45°时，S1有最小值 . …

(2)在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈(0， )，则 ，

解得 ，…

三角形CBE中，有 ，解得 ，…

则等边三角形的边长为 ，…

所以边长的最大值为 ，所以面积S2的最大值为 .…

高一数学下学期期中试题参考

第一卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c的值依次为( )

A.2,4,4 B.-2,4,4 C.2,-4,4 D.2,-4,-4

2.某班的60名同学已编号1,2,3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是()

A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.抽签法

3. 函数y=cosx•tanx的值域是( ).

A.(-1,0)∪(0,1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.[-1,0]∪(0,1)

4. 如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x 值为( )

A.0 B.1 C.2 D.11

5. 圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1) 2=4外切，则m的值为( )

A.2或-5 B.-5 C.2 D.不确定

6.若 那么 的值为( )

A.0 B.1 C.-1 D.

7. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如右图，则下面结论中错误的一个是( )

A.甲的极差是29 B.乙的众数是21

C.甲罚球命中率比乙高 D.甲的中位数是24

8 . 为三角形ABC的一个内角,若 ,则这个三角形的形状为 ( )

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形

9.方程 =lgx的根的个数是( )

A.0 B. 2 C. 1 D.无法确定

10. △ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(-5,2,1)，C(-83，2,3)，则它在yOz平面上射影图形的面积是( )

A.4 B.3 C.2 D.1

11. 在 内，使 的成立的 的取值范围是( )

A.( ) B.( ) C.( ) D.( )

12.下列说法正确的是( ).

A.在0，π2内sinx>cosx B.函数y=π1+tan2x的最大值为π

C.函数y=2sinx+π5的图象的一条对称轴是x=45π

D .函数y=sin 2x的图象可以由函数y=sin2x-π4的图象向右平移π8个单位得到

第二卷(非选择题 共90分)

二.填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.若一直线与圆x2+y2+kx-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k=_______

14.已知tan α=2，则sin2( + )+sin cos -2cos2(- )的值为______

15.若a1，a2，…，a20这20个数据的平均数为x，方差为0.21，则a1，a2，…，a20，x这21个数据的方差为________.

16. 在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得方程x2+2ax-b2+π2=0有实根的概率为_______

三.解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17(10分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：

零件的个数x(个) 2 3 4 5

加工的时间y(h) 2.5 3 4 4.5

求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^，并预测加工10个零件需要多少时间?

18.(12分)统计局就某地居民的月收入情况调查了10 000人,并根据所得数据画了样本频率分布直方图,每个分组包含左端点,不包含右端点,如第一组表示收入在500~1 000元.

(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样法抽出100人作进一步分析,则月收入在2 000~2 500元的应抽取多少人?

(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数;

19.(12分) 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n+2的概率.

20.(12分) 已知函数 ，

其部分图象如图所示.

(1)求函数 的表达式;

(2)求方程 , 的解.

21.(12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.

22.(12分) 已知函数 ，

(1)求 的单调增区间;

(2)若 ， =a有且仅有一个根,求a的范围.

高一年级数学试题答案

选择题：BBCCA CDBCD CB

填空题：13. 0 14. 45 15. 0.2 16.1-π4

17. 解：由表中数据得：i=14xiyi=52.5，x=3.5，y=3.5，i=14x2i=54.

代入公式得b^=0.7，a^=1 .05∴y^=0.7x+1.05. —–8分

将x=10代入回归直线方程，

得y^=0.7×10+1.05=8.05(h).

∴预测加工10个零件需要8.05 h. ——–10分

18. 解:(1)因为(0.000 2 +0.000 4+0.000 3+0.000 1)×500=0.5,

所以a==0.000 5, —3分

月收入在2 000元~2 500元的频率为0.25,

所以抽取的100人中月收入在2 000元~2 500元的人数为

0.25×100=25(人). ——6分

(2)因为0.000 2×(1 000-500)=0.1,0.000 4×(1 500-1 000)=0.2,

0.000 5×(2 000-1 500)=0.25, 0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,

所以样本数据的中位数是1 500+ =1 900(元). ——9分

(750×0.000 2+1 250×0.000 4+1 750×0.000 5+2 250×0.000 5+2 750×0.000 3+3 250×0.000 1)×500=1 900(元).

所以样本数据的平均数为1 900元. —–12分

19. 解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个.

因此所求事件的概率P=26=13. ——-6分

(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.

又满足m+2≤n的事件的概率为P1=316，

故满足n+2的事件的概率为1-p1=1-316=1316.>

20. 解：(1)

且 过 ，则 —-6分

( 2)当 时， ，

———– 12分

21. 设所求圆的圆心为C(a, a-1),半径 为r(r>0),则点C到直线l2的距离d1= = . ——–3分

点C到直线l3的距离是d2= = . ———6分

由题意,得 ——-9分

解得a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25. —-12分

22.(1) ， ，

增区间为 ; —– -6分

( 2)

由图像可知 =a有且仅有一个根时a的范围

为{a︱ 或a=2} ——12分

高一年级数学下学期期中试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.请将正确答案填涂在答题卷上)

1.设全集U=A∪B={1，2，3，4，5}，A∩(∁UB)={1，2}，则集合B=()

A.{2，4，5} B.{3，4，5} C.{4， 5} D.(2，4)

2.过点M(﹣3，2)，N(﹣2，3)的直线倾斜角是()

A. B. C. D .

3.函数 的零点落在的区间是( )

4.计算sin105°=()

A. B. C. D.

5.函数 的图像( )

A.关于点 对称， B.关于直线 对称， C.关于点 对称， D.关于直线 对称

6.要得到函数 的图像，只需将函数 的图像( )

A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度

C.向左平行移动 个单位长度 D.向右平行移动 个单位长度

7.已知 ，则 ( )

A. B. C. D.

8.已知2sinα+cosα= ，则tan2α=( )

A. B. C.- D.-

9.函数y=2cos2 -1是( )

A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函 数

C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数

10.函数 的最小值为 ( )

A. B. C. D.

11.设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：

①若m⊥α，n⊥α，则m∥n; ②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β;

③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m ⊥γ ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β.

其中正确命题的序号是() A.①③ B.②③ C.③④ D.①④

12.已知 则方程 所 有实根的个数是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案写在答题卷上)

13.已知 则

14.经过点 ，且与直线 =0垂直的直线方程是

15.已知函数 若对任意x1≠x2，都有 成立，则a的取值范围是

16.设常 数a使方程 在闭区间[0,2 ]上恰有三个解 ，则 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.)

17.已知函数

(Ⅰ)求出使 取最大值、最小值时 的集合;

(Ⅱ)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;

18.已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0，|φ|<π)的 一段图象(如图)所示.

(Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)求这个函数的单调增区间。

19.设函数 ， .

(Ⅰ)求 的最小正周期及单调递增区间;

(Ⅱ)若 时， ，求函数 的最大值，并指出 取何值时，函数 取得最大值.

20.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，∠PDA=45°，AB=2，AD=1.

(Ⅰ)求证：MN∥平面PAD;

(Ⅱ)求证：平面PMC⊥平面PCD;

21.已知圆 ： ，点 是直线 ： 上的一动点，过点 作圆M的切线 、 ，切点为 、 .

(Ⅰ)当切线PA的长度为 时，求点 的坐标;

(Ⅱ)若 的外接圆为圆 ，试问：当 运动时，圆 是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标;若不存在，说明理由;

(Ⅲ)求线段 长度的最小值.

2 2.已知 二次函数g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)在区间[0，3]上有最大值4，最小值0.

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;

(Ⅱ)设f(x)= .若f(2x)﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围.

期中数学试卷参考答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B B B D A C C A A C A B

13.-2 14.

15.(0, ] 16.

17.

18.(1)由图可知A=3，

T= =π，又 ，故ω=2

所以y=3sin(2x+φ)，把 代入得：

故 ，∴ ，k∈Z

∵|φ|<π，故k=1， ，

∴

(2)由题知 ，

解得：

故这个函数的单调增区间为 ，k∈Z。

19.(1)

所以：

因为：

所以单调递增区间为：

(2)因为：

当 时， ，

所以

20.(1)证明：如图，取PD的中点E，连结AE、EN

则有EN∥CD∥AM，且EN= CD= AB=MA.

∴四边形AMNE是平行四边形.

∴MN∥AE.

∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD;

(2)证明：∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD，AD⊂矩形ABCD所在的平面，

∴PA⊥CD，PA⊥AD，

∵CD⊥AD，PA∩AD=A ，

∴CD⊥平面PAD，

又∵AE⊂平面PAD，

∴CD⊥AE，

∵∠PDA=45°，E为PD中点

∴AE⊥PD，

又∵PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD，

∵MN∥AE，

∴MN⊥平面PCD，

又∵MN⊂平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD;

21.解：(Ⅰ)由题可知，圆M的半径r=2，设P(2b,b)，

因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°,

所以MP= ，解得

所以

(Ⅱ)设P(2b，b)，因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆 以MP为直径，

其方程为：

即

由 ，

解得 或 ，所以圆过定点

(Ⅲ)因为圆 方程为

即 ……①

圆 ： ，即 ……②

②-①得圆 方程与圆 相交弦AB所在直线方程为：

点M到直线AB的距离

相交弦长即：

当 时，AB有最小值

22.解：(Ⅰ)∵g(x)=m(x﹣1)2﹣m+1+n

∴函数g(x)的图象的对称轴方程为x=1

∵m>0依题意得 ，

即 ，

解得

∴g(x)=x2﹣2x+1，

(Ⅱ)∵

∴ ，

∵f(2x)﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，

即 在x∈[﹣3，3]时恒成立

∴ 在x∈[﹣3，3]时恒成立

只需

令 ，

由x∈[﹣3，3]得

设h(t)=t2﹣4t+1

∵h(t)=t2﹣4t+1

=(t﹣2)2﹣3

∴函数h(x)的图象的对称轴方程为t=2

当t=8时，取得最大值33.

∴k≥h(t)max=h(8)=33

∴k的取值范围为[33，+∞)

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